查找 a，b，n 以便 (a^b）%n=x

Find a,b,n so that (a^b)%n=x

本文关键字：以便 查找      更新时间：2023-10-16

假设我为 x 选择一个介于0和2147483647之间的值。(Int32.MaxValue( 我正在尝试弄清楚如何找到a,b,n的值，以便(a^b)%n=x我已经知道我可以使用 ModPow 来验证值，但我不知道如何找到合适的 a、b 和 n。

#include <iostream>
/// Calculate (a^b)%n
/// param a The base
/// param b The exponent
/// param n The modulo
/// return (a^b)%n
int ModPow(int a, int b, int n) {
long long x = 1, y = a;
while (b > 0) {
if (b % 2 == 1) {
x = (x * y) % n; // multiplying with base
}
y = (y * y) % n; // squaring the base
b /= 2;
}
return x % n;
}
int main() {
int x = 1337;
// How to find a,b,n so that (a^b)%n=x
int a = ?;
int b = ?;
int n = ?;
if(x == ModPow(a,b,n))
printf("ok");
return 0;
}

int n = 2147483647
int a = ModPow(x, 9241, n);
int b = 464773;

n= 231− 1 是质数。因此，由于费马小定理，x n mod n = x 和 x n − 1 modn = 1(除非 x = 0(，所以 x 2 n− 1modn=x。2n− 1 = 9241 × 464773。所以 (x9241mod n(464773modn=x。请注意，您需要x<<em>n 才能正常工作;x= 如果n也是 31 位(即有符号(整数，则 2147483647 不起作用。

我花了一段时间才来到这里;在我得出这个简单的解决方案之前，很长一段时间以来，我一直有这个答案弄乱了卡迈克尔数字和卡迈克尔函数。有关详细信息，请参阅编辑历史记录。

模运算符：

产生以下表达式给出的余数，其中 e1 是第一个操作数，e2是第二个操作数：e1 – (e1/e2( * e2

因此，无论x的最大值是多少，n都必须更大。由于您将n作为int进行验证，并且您指定了范围：0和numeric_limits<int>::max()，这必须是独占范围，并且要使n成为int它唯一可能的值是：numeric_limits<int>::max()。

在n强制的情况下，我们的方程实际上变成了：ab=x。
我们需要在这里检查x不是1，如果它是b= 0并且a可以是我们合法范围内的任何东西，因此我们可以任意选择a= 2。但除此之外：

我们的要求是：

  • 1<a><x>和a是int
  • 1<b><x>和b是int

给定x，我们可以搜索适合如下的a和b的组合：

auto a = 0.0;
auto b = 1;
if(x == 1) {
a = 2.0;
b = 0;
} else {
while((a = pow(x, 1.0 / ++b)) > 2.0) {
double dummy;
if(modf(a, &dummy) == 0.0) {
break;
}
}
}

此时，如果a>= 2.0，则有一个有效的问题解决方案。现在您可能已经知道，pow是一个非常昂贵的函数，因此对于较大的x值，这可能需要很长时间才能执行，我个人建议为每个存在这种对的数字找到一个a和b并将它们存储在map中并对其进行查找。
无论如何，这是工作代码的演示：

现场示例

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